(1) $x > 0$のとき、以下の不等式を証明せよ。(ウ)では数学的帰納法を用いる。 (ア) $e^x > 1 + x$ (イ) $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$ (ウ) $e^x > 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k!}$ （ただし、$n$は自然数） (2) (1)を利用して、以下の極限を求めよ。 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$, $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = 0$, $\lim_{x \to +0} x \log x = 0$ （ただし、$m$は自然数）

1. 問題の内容

(1) $x > 0$のとき、以下の不等式を証明せよ。(ウ)では数学的帰納法を用いる。

(ア) $e^x > 1 + x$

(イ) $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$

(ウ) $e^x > 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k!}$ （ただし、$n$は自然数）

(2) (1)を利用して、以下の極限を求めよ。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$, $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = 0$, $\lim_{x \to +0} x \log x = 0$ （ただし、$m$は自然数）

2. 解き方の手順

(1)

(ア)

$f(x) = e^x - (1 + x)$とおく。

$f'(x) = e^x - 1$

$x > 0$のとき、$f'(x) > 0$なので、$f(x)$は単調増加である。

$f(0) = e^0 - (1 + 0) = 1 - 1 = 0$

よって、$x > 0$のとき、$f(x) > 0$。したがって、$e^x > 1 + x$

(イ)

$g(x) = e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2})$とおく。

$g'(x) = e^x - (1 + x)$

(ア)より、$x > 0$のとき、$e^x > 1 + x$だから、$g'(x) > 0$。

よって、$g(x)$は単調増加である。

$g(0) = e^0 - (1 + 0 + \frac{0^2}{2}) = 1 - 1 = 0$

したがって、$x > 0$のとき、$g(x) > 0$。すなわち、$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$

(ウ) 数学的帰納法で証明する。

i) $n = 1$のとき、

$e^x > 1 + \sum_{k=1}^{1} \frac{x^k}{k!} = 1 + x$となり、(ア)で証明済み。

ii) $n = k$のとき、$e^x > 1 + \sum_{i=1}^{k} \frac{x^i}{i!}$が成り立つと仮定する。

$n = k+1$のとき、$e^x > 1 + \sum_{i=1}^{k+1} \frac{x^i}{i!}$を示す。

$h(x) = e^x - (1 + \sum_{i=1}^{k+1} \frac{x^i}{i!})$とおく。

$h'(x) = e^x - \sum_{i=1}^{k+1} \frac{i x^{i-1}}{i!} = e^x - \sum_{i=1}^{k+1} \frac{x^{i-1}}{(i-1)!} = e^x - (1 + \sum_{i=2}^{k+1} \frac{x^{i-1}}{(i-1)!}) = e^x - (1 + \sum_{i=1}^{k} \frac{x^{i}}{i!})$

帰納法の仮定より、$e^x > 1 + \sum_{i=1}^{k} \frac{x^i}{i!}$であるから、$h'(x) > 0$。

よって、$h(x)$は単調増加である。

$h(0) = e^0 - (1 + \sum_{i=1}^{k+1} \frac{0^i}{i!}) = 1 - 1 = 0$

したがって、$x > 0$のとき、$h(x) > 0$。すなわち、$e^x > 1 + \sum_{i=1}^{k+1} \frac{x^i}{i!}$が成り立つ。

i), ii)より、すべての自然数$n$に対して、$e^x > 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k!}$が成り立つ。

(2)

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$を示す。

(ウ)より、$e^x > 1 + \sum_{k=1}^{m+1} \frac{x^k}{k!} > \frac{x^{m+1}}{(m+1)!}$

よって、$0 < \frac{x^m}{e^x} < \frac{x^m}{\frac{x^{m+1}}{(m+1)!}} = \frac{(m+1)!}{x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(m+1)!}{x} = 0$なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = 0$を示す。

$x = e^y$とおくと、$x \to \infty$のとき、$y \to \infty$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = \lim_{y \to \infty} \frac{y}{e^{y/m}} = \lim_{y \to \infty} \frac{y}{(e^{1/m})^y}$

$\frac{y}{e^{y/m}} = \frac{y}{(e^{1/m})^y}$ において、$z = y/m$とおくと、$y=mz$であるから、

$\lim_{y \to \infty} \frac{y}{e^{y/m}} = \lim_{z \to \infty} \frac{mz}{e^z} = m \lim_{z \to \infty} \frac{z}{e^z}$

$\lim_{z \to \infty} \frac{z}{e^z} = 0$ （$\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$で、$m=1$のとき）

よって、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = 0$

$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$を示す。

$x = \frac{1}{y}$とおくと、$x \to +0$のとき、$y \to \infty$

$\lim_{x \to +0} x \log x = \lim_{y \to \infty} \frac{1}{y} \log (\frac{1}{y}) = \lim_{y \to \infty} \frac{1}{y} (-\log y) = - \lim_{y \to \infty} \frac{\log y}{y}$

$\lim_{y \to \infty} \frac{\log y}{y} = 0$ （$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = 0$で、$m=1$のとき）

よって、$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $e^x > 1 + x$

(イ) $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$

(ウ) $e^x > 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k!}$

(2)

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = 0$

$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$