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関数 $\int_{x}^{3x} t \cos t dt$ を $x$ で微分する問題です。

解析学積分微分定積分合成関数積分区間の関数
2025/6/5

1. 問題の内容

関数 ∫x3xtcos⁡tdt\int_{x}^{3x} t \cos t dt を xx で微分する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の上端と下端がともに xx の関数である積分を微分するための公式を使います。
ddx∫g(x)h(x)f(t)dt=f(h(x))h′(x)−f(g(x))g′(x)\frac{d}{dx} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt = f(h(x)) h'(x) - f(g(x)) g'(x)
この公式を問題に適用します。
f(t)=tcos⁡tf(t) = t \cos t
g(x)=xg(x) = x
h(x)=3xh(x) = 3x
したがって、g′(x)=1g'(x) = 1 と h′(x)=3h'(x) = 3 です。
公式に代入すると、
ddx∫x3xtcos⁡tdt=(3x)cos⁡(3x)⋅3−(x)cos⁡(x)⋅1\frac{d}{dx} \int_{x}^{3x} t \cos t dt = (3x) \cos(3x) \cdot 3 - (x) \cos(x) \cdot 1
=9xcos⁡(3x)−xcos⁡(x)= 9x \cos(3x) - x \cos(x)

3. 最終的な答え

9xcos⁡(3x)−xcos⁡(x)9x \cos(3x) - x \cos(x)

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