関数 $f(x)$ が等式 $f(x) = x + \int_0^1 f(t)e^t dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が等式 $f(x) = x + \int_0^1 f(t)e^t dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\int_0^1 f(t)e^t dt$ は定数であることに着目します。

この定数を $A$ とおくと、

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A = \int_0^1 f(t)e^t dt

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このとき、$f(x)$ は

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f(x) = x + A

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と表せます。

これを、$A$ の定義式に代入すると、

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A = \int_0^1 (t+A)e^t dt

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A = \int_0^1 te^t dt + A \int_0^1 e^t dt

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ここで、部分積分を使って $\int_0^1 te^t dt$ を計算します。

$\int te^t dt = te^t - \int e^t dt = te^t - e^t + C$ なので、

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\int_0^1 te^t dt = [te^t - e^t]_0^1 = (1\cdot e^1 - e^1) - (0\cdot e^0 - e^0) = 0 - (-1) = 1

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また、$\int_0^1 e^t dt = [e^t]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$ です。

したがって、

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A = 1 + A(e-1)

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A - A(e-1) = 1

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A(1 - (e-1)) = 1

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A(2-e) = 1

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A = \frac{1}{2-e}

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よって、$f(x) = x + \frac{1}{2-e}$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = x + \frac{1}{2-e}$