(1) $x > 0$ のとき、以下の不等式を証明する。ただし、(ウ)では $n$ は自然数で、数学的帰納法を用いる。 (ア) $e^x > 1 + x$ (イ) $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$ (ウ) $e^x > 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k!}$ (2) (1)を利用して、以下の極限を求める。ただし、$m$ は自然数である。 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$ $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ $\lim_{x \to +0} x \log x = 0$

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) $x > 0$ のとき、以下の不等式を証明する。ただし、(ウ)では $n$ は自然数で、数学的帰納法を用いる。

(ア) $e^x > 1 + x$

(イ) $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$

(ウ) $e^x > 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k!}$

(2) (1)を利用して、以下の極限を求める。ただし、$m$ は自然数である。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$

$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$

2. 解き方の手順

(1)

(ア) $f(x) = e^x - (1 + x)$ とおく。$f'(x) = e^x - 1$ であり、$x > 0$ で $f'(x) > 0$ である。よって $f(x)$ は $x > 0$ で増加関数である。$f(0) = e^0 - (1 + 0) = 1 - 1 = 0$ なので、$x > 0$ で $f(x) > 0$。したがって、$e^x > 1 + x$ が成り立つ。

(イ) $g(x) = e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2})$ とおく。$g'(x) = e^x - (1 + x)$ であり、$x > 0$ で $g'(x) > 0$ (アの結果より) である。よって $g(x)$ は $x > 0$ で増加関数である。$g(0) = e^0 - (1 + 0 + 0) = 1 - 1 = 0$ なので、$x > 0$ で $g(x) > 0$。したがって、$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$ が成り立つ。

(ウ) (i) $n = 1$ のとき： $e^x > 1 + \sum_{k=1}^{1} \frac{x^k}{k!} = 1 + x$。これは(ア)で証明済み。

(ii) $n = l$ で成り立つと仮定する： $e^x > 1 + \sum_{k=1}^{l} \frac{x^k}{k!}$

(iii) $n = l + 1$ のとき：

$h(x) = e^x - (1 + \sum_{k=1}^{l+1} \frac{x^k}{k!})$ とおく。

$h'(x) = e^x - \sum_{k=1}^{l+1} \frac{kx^{k-1}}{k!} = e^x - \sum_{k=1}^{l+1} \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = e^x - (1 + \sum_{k=1}^{l} \frac{x^{k}}{k!}) > 0$ (仮定より)

したがって、$h(x)$ は $x > 0$ で増加関数である。$h(0) = 1 - 1 = 0$ なので、$x > 0$ で $h(x) > 0$。

よって、$e^x > 1 + \sum_{k=1}^{l+1} \frac{x^k}{k!}$ が成り立つ。

したがって、数学的帰納法により、$e^x > 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k!}$ が成り立つ。

(2)

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$ について：

(ウ)より、$e^x > \frac{x^{m+1}}{(m+1)!}$ が成り立つので、

$0 < \frac{x^m}{e^x} < \frac{x^m}{\frac{x^{m+1}}{(m+1)!}} = \frac{(m+1)!}{x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(m+1)!}{x} = 0$ なので、はさみうちの原理より、$\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ について：

$x = e^t$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to \infty$。

$\frac{\log x}{x} = \frac{\log e^t}{e^t} = \frac{t}{e^t}$。

$m = 1$ として、$\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^t} = 0$ (上記の結果より)。

したがって、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$。

$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$ について：

$x = \frac{1}{t}$ とおくと、$x \to +0$ のとき $t \to \infty$。

$x \log x = \frac{1}{t} \log \frac{1}{t} = \frac{1}{t} (-\log t) = - \frac{\log t}{t}$。

$\lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t} = 0$ (上記の結果より)。

したがって、$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$。

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $e^x > 1 + x$

(イ) $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$

(ウ) $e^x > 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k!}$

(2)

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$

$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$