次の不定積分を計算します。 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 2}} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 2}} dx$

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 4x + 2$を平方完成させます。

$x^2 - 4x + 2 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 2 = (x - 2)^2 - 2$

したがって、積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{(x - 2)^2 - 2}} dx$

となります。

ここで、$x - 2 = \sqrt{2} \cosh u$とおくと、

$dx = \sqrt{2} \sinh u du$

$\sqrt{(x - 2)^2 - 2} = \sqrt{2 \cosh^2 u - 2} = \sqrt{2(\cosh^2 u - 1)} = \sqrt{2 \sinh^2 u} = \sqrt{2} \sinh u$

となるので、積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{2} \sinh u} \sqrt{2} \sinh u du = \int du = u + C$

となります。

$x - 2 = \sqrt{2} \cosh u$より、$u = \cosh^{-1} \left( \frac{x - 2}{\sqrt{2}} \right)$

$\cosh^{-1} x = \ln (x + \sqrt{x^2 - 1})$であることを使うと、

$u = \ln \left( \frac{x - 2}{\sqrt{2}} + \sqrt{\frac{(x - 2)^2}{2} - 1} \right) = \ln \left( \frac{x - 2}{\sqrt{2}} + \sqrt{\frac{x^2 - 4x + 4 - 2}{2}} \right)$

$u = \ln \left( \frac{x - 2}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 2}}{\sqrt{2}} \right) = \ln \left( \frac{x - 2 + \sqrt{x^2 - 4x + 2}}{\sqrt{2}} \right)$

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 2}} dx = \ln \left( \frac{x - 2 + \sqrt{x^2 - 4x + 2}}{\sqrt{2}} \right) + C$

ここで、$\ln \frac{1}{\sqrt{2}}$は定数なので、

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 2}} dx = \ln (x - 2 + \sqrt{x^2 - 4x + 2}) + C'$

3. 最終的な答え

$\ln (x - 2 + \sqrt{x^2 - 4x + 2}) + C$