関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $y = f(x)$ の極値を求め、グラフを描け。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ であることを用いて良い。 (2) (1)を利用して、$99^{101}$ と $101^{99}$ の大小を判定せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $y = f(x)$ の極値を求め、グラフを描け。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ であることを用いて良い。

(2) (1)を利用して、$99^{101}$ と $101^{99}$ の大小を判定せよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ の定義域は $x > 0$ です。次に、$f(x)$ を微分して、極値を求めます。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは $1 - \log x = 0$、すなわち $\log x = 1$ のときです。これは $x = e$ を意味します。

$x < e$ のとき $f'(x) > 0$ であり、$x > e$ のとき $f'(x) < 0$ であるから、$x=e$ で極大となります。

極大値は $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ です。

また、$\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{x} = -\infty$ ($\log x$ は $x \to +0$ で $-\infty$ に発散し、$x$ は $0$ に近づくため) であり、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ （問題文に与えられている）です。

これらの情報から、$y=f(x)$ のグラフを描くことができます。$x=e$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとり、$x$ が小さい方から増加していくと、$y$ は $-\infty$ から増加し、$x=e$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとった後、$x$ が増加するとともに減少し、$\lim_{x \to \infty} y = 0$ となります。

(2)

$99^{101}$ と $101^{99}$ の大小を比較するために、両辺の自然対数をとります。

$101 \log 99$ と $99 \log 101$ の大小を比較します。

このとき、$\frac{\log 99}{99}$ と $\frac{\log 101}{101}$ の大小を比較すれば良いことが分かります。

これは $f(99)$ と $f(101)$ の大小を比較することと同じです。

(1)の結果から、$x > e$ の範囲では $f(x)$ は単調減少であることが分かっています。

$99 > e$ かつ $101 > e$ であり、$99 < 101$ であるから、$f(99) > f(101)$ が成り立ちます。

したがって、$\frac{\log 99}{99} > \frac{\log 101}{101}$ であり、$101 \log 99 > 99 \log 101$ となります。

ゆえに、$\log(99^{101}) > \log(101^{99})$ が成り立ちます。自然対数関数は単調増加なので、$99^{101} > 101^{99}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) 極大値：$x = e$ のとき $y = \frac{1}{e}$

グラフ：省略(上記参照)

(2) $99^{101} > 101^{99}$