次の関数 $y = \frac{1}{x-2}$ の逆関数を求め、その逆関数の定義域と値域を求める。

1. 問題の内容

次の関数 $y = \frac{1}{x-2}$ の逆関数を求め、その逆関数の定義域と値域を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = \frac{1}{x-2}$ とおく。

この逆関数を求めるには、$x$ について解き、$x$ と $y$ を入れ替える。

$y = \frac{1}{x-2}$ の両辺に $x-2$ を掛けると、

$y(x-2) = 1$

$yx - 2y = 1$

$yx = 1 + 2y$

$x = \frac{1 + 2y}{y}$

ここで、$x$ と $y$ を入れ替えると、逆関数は

$y = \frac{1 + 2x}{x}$

となる。これを整理すると、

$y = \frac{1}{x} + 2$

となる。

元の関数 $y = \frac{1}{x-2}$ の定義域は $x \neq 2$ で、値域は $y \neq 0$ である。

逆関数の定義域は、元の関数の値域であるから、$x \neq 0$。

逆関数の値域は、元の関数の定義域であるから、$y \neq 2$。

3. 最終的な答え

逆関数は $y = \frac{1 + 2x}{x}$ または $y = \frac{1}{x} + 2$。

逆関数の定義域は $x \neq 0$。

逆関数の値域は $y \neq 2$。