与えられた関数②〜⑥について、それぞれの極値を求める問題です。 ② $y = x + \frac{1}{x}$ ③ $y = x + \sin x \quad (0 \le x \le 2\pi)$ ④ $y = e^x - x$ ⑤ $y = x - \log x$ ⑥ $y = \frac{x}{x^2 + 1}$

1. 問題の内容

与えられた関数②〜⑥について、それぞれの極値を求める問題です。

② $y = x + \frac{1}{x}$

③ $y = x + \sin x \quad (0 \le x \le 2\pi)$

④ $y = e^x - x$

⑤ $y = x - \log x$

⑥ $y = \frac{x}{x^2 + 1}$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で極値を求めます。

(1) 導関数を求める ($y'$)

(2) $y' = 0$ となる $x$ を求める (極値の候補)

(3) 二次導関数を求める ($y''$)

(4) (2)で求めた $x$ を $y''$ に代入し、符号を調べる

* $y'' > 0$ ならば、その $x$ で極小値をとる

* $y'' < 0$ ならば、その $x$ で極大値をとる

* $y'' = 0$ ならば、その $x$ で極値をとらない可能性があるので、増減表を作成して判断する

(5) 極値を与える $x$ を元の関数 $y$ に代入して、極値を求める

各関数について具体的に計算します。

② $y = x + \frac{1}{x}$

$y' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$

$y' = 0$ より $x = \pm 1$

$y'' = \frac{2}{x^3}$

$x = 1$ のとき $y'' = 2 > 0$ なので、極小値 $y = 1 + \frac{1}{1} = 2$

$x = -1$ のとき $y'' = -2 < 0$ なので、極大値 $y = -1 + \frac{1}{-1} = -2$

③ $y = x + \sin x \quad (0 \le x \le 2\pi)$

$y' = 1 + \cos x$

$y' = 0$ より $\cos x = -1$ なので $x = \pi$

$y'' = -\sin x$

$x = \pi$ のとき $y'' = -\sin \pi = 0$

増減表を考える。

$0 < x < \pi$ で $y' > 0$ であり、$\pi < x < 2\pi$ で $y' > 0$ であるため、$x=\pi$で極値を持たない。

したがって、極値は存在しない。

④ $y = e^x - x$

$y' = e^x - 1$

$y' = 0$ より $e^x = 1$ なので $x = 0$

$y'' = e^x$

$x = 0$ のとき $y'' = e^0 = 1 > 0$ なので、極小値 $y = e^0 - 0 = 1$

⑤ $y = x - \log x$

$y' = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$

$y' = 0$ より $x = 1$

$y'' = \frac{1}{x^2}$

$x = 1$ のとき $y'' = \frac{1}{1^2} = 1 > 0$ なので、極小値 $y = 1 - \log 1 = 1$

⑥ $y = \frac{x}{x^2 + 1}$

$y' = \frac{(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$

$y' = 0$ より $x = \pm 1$

$y'' = \frac{-2x(x^2+1)^2 - (1-x^2)2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \frac{-2x(x^2+1) - 4x(1-x^2)}{(x^2+1)^3} = \frac{-2x^3-2x-4x+4x^3}{(x^2+1)^3} = \frac{2x^3 - 6x}{(x^2+1)^3} = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}$

$x = 1$ のとき $y'' = \frac{2(1-3)}{(1+1)^3} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} < 0$ なので、極大値 $y = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$

$x = -1$ のとき $y'' = \frac{-2(1-3)}{(1+1)^3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} > 0$ なので、極小値 $y = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

② 極大値: $-2$ ($x=-1$), 極小値: $2$ ($x=1$)

③ 極値なし

④ 極小値: $1$ ($x=0$)

⑤ 極小値: $1$ ($x=1$)

⑥ 極大値: $\frac{1}{2}$ ($x=1$), 極小値: $-\frac{1}{2}$ ($x=-1$)