## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = 2x^2 + x$ 上の点 $(1, 3)$ における接線の方程式を求めよ。

(2) 関数 $f(x) = -x^3 + 2x^2 + 4x + 3$ の極値を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1) 接線の方程式**

* まず、与えられた曲線 $y = 2x^2 + x$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = 4x + 1$

* 次に、$x = 1$ における導関数の値を計算します。これは、点 $(1, 3)$ における接線の傾き $m$ を表します。

$m = y'(1) = 4(1) + 1 = 5$

* 接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で与えられます。ここで $(x_1, y_1) = (1, 3)$ であり、$m = 5$ です。したがって、接線の方程式は次のようになります。

$y - 3 = 5(x - 1)$

$y = 5x - 5 + 3$

$y = 5x - 2$

**(2) 極値の計算**

* 関数 $f(x) = -x^3 + 2x^2 + 4x + 3$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 4x + 4$

* $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。これは極値を取る点の候補です。

$-3x^2 + 4x + 4 = 0$

$3x^2 - 4x - 4 = 0$

$(3x + 2)(x - 2) = 0$

したがって、$x = -\frac{2}{3}$ または $x = 2$

* 次に、$f''(x)$ を計算して、極大値と極小値を判定します。

$f''(x) = -6x + 4$

* $x = -\frac{2}{3}$ のとき、$f''(-\frac{2}{3}) = -6(-\frac{2}{3}) + 4 = 4 + 4 = 8 > 0$ なので、 $x = -\frac{2}{3}$ で極小値を取ります。

$f(-\frac{2}{3}) = -(-\frac{2}{3})^3 + 2(-\frac{2}{3})^2 + 4(-\frac{2}{3}) + 3 = \frac{8}{27} + \frac{8}{9} - \frac{8}{3} + 3 = \frac{8 + 24 - 72 + 81}{27} = \frac{41}{27}$

* $x = 2$ のとき、$f''(2) = -6(2) + 4 = -12 + 4 = -8 < 0$ なので、$x = 2$ で極大値を取ります。

$f(2) = -(2)^3 + 2(2)^2 + 4(2) + 3 = -8 + 8 + 8 + 3 = 11$

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3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式: $y = 5x - 2$

(2) 極小値: $x = -\frac{2}{3}$, $f(-\frac{2}{3}) = \frac{41}{27}$

極大値: $x = 2$, $f(2) = 11$

画像から推測すると、

極小値: 41/27

極大値: 11

となるので、回答は以下のようになります。

(1) $y = 5x - 2$

(2) 極小値: 41/27

極大値: 11