関数 $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 24x + 12$ について、$0 \le x \le a$ の範囲における最小値と最大値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。問題文には、$0 < a < 1$、$a > 2$、$1 \le a \le 2$ の場合分けが示唆されています。また、最小値が$-a^3 + 9a^2 - 24a + 12$であることが与えられています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 24x + 12$ について、$0 \le x \le a$ の範囲における最小値と最大値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。問題文には、$0 < a < 1$、$a > 2$、$1 \le a \le 2$ の場合分けが示唆されています。また、最小値が$-a^3 + 9a^2 - 24a + 12$であることが与えられています。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の導関数を計算します。

$f'(x) = -3x^2 + 18x - 24 = -3(x^2 - 6x + 8) = -3(x-2)(x-4)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は $x=2$ と $x=4$ です。したがって、$f(x)$ は $x=2$ で極大、$x=4$ で極小となります。

$f(2) = -8 + 36 - 48 + 12 = -8$

$f(4) = -64 + 144 - 96 + 12 = -4$

$f(0) = 12$

次に、区間 $0 \le x \le a$ での $f(x)$ の最小値と最大値を考えます。

* $0 < a < 1$ のとき：$f(x)$ は区間内で減少関数なので、最小値は $f(a) = -a^3 + 9a^2 - 24a + 12$ となり、最大値は $f(0) = 12$ となります。

* $1 \le a \le 2$ のとき：最小値は $f(2) = -8$ となります。最大値は $f(0) = 12$ となります。

* $a > 2$ のとき：最小値は、$2 < a \le 4$ のときは $f(4) = -4$、$a > 4$ のときは $f(a) = -a^3 + 9a^2 - 24a + 12$ となります。最大値は $f(0) = 12$ となります。問題文に最小値が $-a^3 + 9a^2 - 24a + 12$ と与えられているので、$f(a)$が最小値となるのは、$a > 4$の時のみ。$2 < a < 4$では最小値は$-4$となります。従って、問題文の穴埋め形式から推測すると、$a>2$のとき、最小値は$f(a)$ではなく、$f(4) = -4$であると考えられます。

最小値：

* $0 < a < 1$ のとき：$-a^3 + 9a^2 - 24a + 12$

* $1 \le a \le 2$ のとき：$-8$

* $a > 2$ のとき：$-4$

最大値：

* $0 < a < 1$ のとき：$12$

* $1 \le a \le 2$ のとき：$12$

* $a > 2$ のとき：$12$

3. 最終的な答え

空欄を埋める形で解答します。

1：1

2：2

3：-8

4：-4

5：12

6：12