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関数 $arctan(e^{-2x})$ を微分する問題です。

解析学微分合成関数指数関数逆正接関数
2025/6/5

1. 問題の内容

関数 arctan(e−2x)arctan(e^{-2x}) を微分する問題です。

2. 解き方の手順

関数 y=arctan(e−2x)y = arctan(e^{-2x}) を微分します。
合成関数の微分法を用います。
まず、arctan(x)arctan(x) の微分は 11+x2\frac{1}{1+x^2} であることを利用します。
次に、e−2xe^{-2x} の微分は −2e−2x-2e^{-2x} であることを利用します。
合成関数の微分法より、
dydx=ddxarctan(e−2x)=11+(e−2x)2⋅ddxe−2x\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} arctan(e^{-2x}) = \frac{1}{1+(e^{-2x})^2} \cdot \frac{d}{dx} e^{-2x}
=11+e−4x⋅(−2e−2x)= \frac{1}{1+e^{-4x}} \cdot (-2e^{-2x})
=−2e−2x1+e−4x= \frac{-2e^{-2x}}{1+e^{-4x}}
=−2e−2x1+(e−2x)2= \frac{-2e^{-2x}}{1+(e^{-2x})^2}
分母分子に e4xe^{4x} を掛けると、
−2e−2xe4x(1+e−4x)e4x=−2e2xe4x+1\frac{-2e^{-2x} e^{4x}}{(1+e^{-4x}) e^{4x}} = \frac{-2e^{2x}}{e^{4x}+1}
もしくは、分母分子に e2xe^{2x} をかけると、
−2e2x+e−2x\frac{-2}{e^{2x} + e^{-2x}}

3. 最終的な答え

dydx=−2e−2x1+e−4x=−2e2x1+e4x=−2e2x+e−2x\frac{dy}{dx} = \frac{-2e^{-2x}}{1+e^{-4x}} = \frac{-2e^{2x}}{1+e^{4x}}= \frac{-2}{e^{2x}+e^{-2x}}
dydx=−2e2x+e−2x\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{e^{2x} + e^{-2x}}
−2e2x1+e4x\frac{-2e^{2x}}{1+e^{4x}}
−2e−2x1+e−4x\frac{-2e^{-2x}}{1+e^{-4x}}
が答えとなります。

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