関数 $y = x + \sin x$ の導関数 $y'$ を求めます。 $y' = 1 + \cos x$

## 問題の内容

与えられた関数 $y = x + \sin x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の極値を求める問題です。

## 解き方の手順

1. **導関数を求める:**

関数 $y = x + \sin x$ の導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 1 + \cos x$

2. **第二導関数を求める:**

導関数 $y'$ の導関数 $y''$ を求めます。

$y'' = -\sin x$

3. **極値の候補を求める:**

$y'' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$-\sin x = 0$ より、$x = n\pi$ ($n$ は整数)

定義域 $0 \le x \le 2\pi$ における解は、$x = 0, \pi, 2\pi$ です。

4. **極値の判定:**

$x = 0, \pi, 2\pi$ の前後で $y'$ の符号の変化を調べます。

* $x=0$ のとき:

- $x < 0$ は定義域外なので考えない。

- $0 < x < \pi$ の範囲で $\cos x$ の値は $-1 < \cos x \le 1$ ですので、 $y' = 1 + \cos x \ge 0$ です。よって、$x=0$で、$y'$の符号が変化しません。

* $x=\pi$ のとき:

- $0 < x < \pi$ の範囲で $\cos x$ の値は $-1 < \cos x < 1$ ですので、$y' = 1 + \cos x > 0$ です。

- $\pi < x < 2\pi$ の範囲で $\cos x$ の値は $-1 < \cos x < 1$ ですので、$y' = 1 + \cos x > 0$ です。

よって、$x=\pi$で、$y'$の符号が変化しません。

* $x=2\pi$ のとき:

- $\pi < x < 2\pi$ の範囲で $\cos x$ の値は $-1 < \cos x < 1$ ですので、$y' = 1 + \cos x > 0$ です。

- $x > 2\pi$ は定義域外なので考えない。

よって、$x=2\pi$で、$y'$の符号が変化しません。

5. **極値を求める:**

$y'$の符号が変化しないので、$x=0, \pi, 2\pi$は極値ではありません。

## 最終的な答え

極値をもたない。