与えられた関数（または式）を微分した結果を簡略化する問題です。最初の式は商の微分公式を用いて計算されており、それを簡略化していく過程が示されています。最終的に$y'$を求めることが目標です。

はい、承知いたしました。画像に示された計算について解説します。

1. 問題の内容

与えられた関数（または式）を微分した結果を簡略化する問題です。最初の式は商の微分公式を用いて計算されており、それを簡略化していく過程が示されています。最終的に$y'$を求めることが目標です。

2. 解き方の手順

問題に示された手順を追って解説します。

ステップ1: 商の微分公式の適用

最初の式は商の微分公式を使用しています。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = \sqrt{x} - 1$、$v = \sqrt{x} + 1$とすると、

$u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$、$v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$となります。

したがって、$y' = \frac{(\sqrt{x}-1)'(\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)'}{(\sqrt{x}+1)^2}$は

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2}$となります。

ステップ2: 式の簡略化

分子の$\frac{1}{2\sqrt{x}}$をくくり出すと、

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} [(\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1)]}{(\sqrt{x}+1)^2}$となります。

分子の[]内を計算すると、$(\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1) = \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} + 1 = 2$となります。

したがって、$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 2}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2}$となります。

ステップ3: 最終的な簡略化

$y' = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$となります。

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$