次の2つの定積分で定義された関数を $x$ で微分する問題です。 (1) $\int_0^x \sin t \, dt$ (2) $\int_1^x t \log t \, dt$。ただし、$x > 0$ とする。

1. 問題の内容

次の2つの定積分で定義された関数を $x$ で微分する問題です。

(1) $\int_0^x \sin t \, dt$

(2) $\int_1^x t \log t \, dt$。ただし、$x > 0$ とする。

2. 解き方の手順

微積分学の基本定理を利用します。微積分学の基本定理によれば、

$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)$

が成り立ちます。ここで、$a$ は定数です。

(1) $f(t) = \sin t$ なので、

$\frac{d}{dx} \int_0^x \sin t \, dt = \sin x$

となります。

(2) $f(t) = t \log t$ なので、

$\frac{d}{dx} \int_1^x t \log t \, dt = x \log x$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sin x$

(2) $x \log x$