$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているので、ロピタルの定理を適用できます。

$f(x) = 1 + \cos x$ と $g(x) = (x - \pi)^2$ とおくと、

$f'(x) = -\sin x$ および $g'(x) = 2(x - \pi)$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \pi} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to \pi} \frac{-\sin x}{2(x - \pi)}$

となります。

この極限も $\frac{0}{0}$ の形をしているので、再度ロピタルの定理を適用します。

$f''(x) = -\cos x$ および $g''(x) = 2$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \pi} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \lim_{x \to \pi} \frac{-\cos x}{2}$

となります。

ここで、$x = \pi$ を代入すると、

$\frac{-\cos \pi}{2} = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2}$

となります。

別の解法として、$\cos x = -1 + \frac{(x - \pi)^2}{2} - \frac{(x - \pi)^4}{4!} + ...$ を用いてテイラー展開することにより、

$1 + \cos x = \frac{(x - \pi)^2}{2} - \frac{(x - \pi)^4}{4!} + ...$

よって、

$\frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2} = \frac{1}{2} - \frac{(x - \pi)^2}{4!} + ...$

$x \to \pi$ の極限を取ると、

$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$