与えられた式 $\frac{x}{(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2}$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を定め、不定積分 $\int \frac{x}{(x+1)(x+2)} dx$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{x}{(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2}$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を定め、不定積分 $\int \frac{x}{(x+1)(x+2)} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式から $a$ と $b$ の値を求める。

$\frac{x}{(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2}$

両辺に $(x+1)(x+2)$ を掛けると、

$x = a(x+2) + b(x+1)$

$x = (a+b)x + (2a+b)$

この式が全ての $x$ について成り立つためには、両辺の $x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければならない。したがって、以下の連立方程式が得られる。

$a+b = 1$

$2a+b = 0$

この連立方程式を解く。2番目の式から1番目の式を引くと、

$(2a+b) - (a+b) = 0 - 1$

$a = -1$

$a = -1$ を $a+b=1$ に代入すると、

$-1+b = 1$

$b = 2$

したがって、$a=-1$, $b=2$ である。

次に、不定積分 $\int \frac{x}{(x+1)(x+2)} dx$ を計算する。

$\int \frac{x}{(x+1)(x+2)} dx = \int \left(\frac{-1}{x+1} + \frac{2}{x+2}\right) dx$

$= -\int \frac{1}{x+1} dx + 2\int \frac{1}{x+2} dx$

$= -\ln|x+1| + 2\ln|x+2| + C$

$= \ln\left|\frac{(x+2)^2}{x+1}\right| + C$

ここで、$C$ は積分定数である。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 2$

$\int \frac{x}{(x+1)(x+2)} dx = -\ln|x+1| + 2\ln|x+2| + C = \ln\left|\frac{(x+2)^2}{x+1}\right| + C$