関数 $G(x) = \int_{0}^{x} (x-t)e^t dt$ について、$G'(x)$ と $G''(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $G(x) = \int_{0}^{x} (x-t)e^t dt$ について、$G'(x)$ と $G''(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$G(x)$ を計算します。

$G(x) = \int_{0}^{x} (x-t)e^t dt = \int_{0}^{x} xe^t dt - \int_{0}^{x} te^t dt = x\int_{0}^{x} e^t dt - \int_{0}^{x} te^t dt$

$\int e^t dt = e^t + C$ であることと、部分積分 $\int te^t dt = t\int e^t dt - \int (\frac{d}{dt} t) (\int e^t dt)dt = te^t - \int e^t dt = te^t - e^t + C$ を用いると、

$G(x) = x[e^t]_0^x - [te^t - e^t]_0^x = x(e^x - e^0) - (xe^x - e^x - (0e^0 - e^0)) = x(e^x - 1) - (xe^x - e^x + 1) = xe^x - x - xe^x + e^x - 1 = e^x - x - 1$

次に、$G'(x)$ を計算します。

$G'(x) = \frac{d}{dx} (e^x - x - 1) = e^x - 1$

最後に、$G''(x)$ を計算します。

$G''(x) = \frac{d}{dx} (e^x - 1) = e^x$

3. 最終的な答え

$G'(x) = e^x - 1$

$G''(x) = e^x$