次の2つの不等式を$x > 0$の範囲で示す問題です。 (1) $x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x$ (2) $x - \frac{x^3}{3} < \tan^{-1} x < x$

1. 問題の内容

次の2つの不等式を$x > 0$の範囲で示す問題です。

(1) $x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x$

(2) $x - \frac{x^3}{3} < \tan^{-1} x < x$

2. 解き方の手順

(1) の不等式を証明します。

まず、$x > 0$で$\sin x < x$を示すのは簡単です。関数$f(x) = x - \sin x$を考えると、$f(0) = 0$であり、$f'(x) = 1 - \cos x \geq 0$なので、$x > 0$で$f(x)$は増加関数です。したがって、$x > 0$において$f(x) > 0$、つまり$\sin x < x$が成り立ちます。

次に、$x - \frac{x^3}{6} < \sin x$を示します。関数$g(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6}$を考えます。

$g(0) = 0$

$g'(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$

$g'(0) = 0$

$g''(x) = -\sin x + x$

$g''(0) = 0$

$g'''(x) = -\cos x + 1 \geq 0$

$g'''(x) \geq 0$なので、$g''(x)$は$x \geq 0$で増加関数です。$g''(0) = 0$なので、$g''(x) \geq 0$ for $x \geq 0$.

同様に、$g'(x)$は$x \geq 0$で増加関数です。$g'(0) = 0$なので、$g'(x) \geq 0$ for $x \geq 0$.

最後に、$g(x)$は$x \geq 0$で増加関数です。$g(0) = 0$なので、$g(x) \geq 0$ for $x \geq 0$.

よって、$x - \frac{x^3}{6} < \sin x$が成り立ちます。

(2) の不等式を証明します。

まず、$x > 0$で$\tan^{-1} x < x$を示します。関数$f(x) = x - \tan^{-1} x$を考えると、$f(0) = 0$であり、$f'(x) = 1 - \frac{1}{1 + x^2} = \frac{x^2}{1 + x^2} > 0$ for $x > 0$なので、$x > 0$で$f(x)$は増加関数です。したがって、$x > 0$において$f(x) > 0$、つまり$\tan^{-1} x < x$が成り立ちます。

次に、$x - \frac{x^3}{3} < \tan^{-1} x$を示します。関数$g(x) = \tan^{-1} x - x + \frac{x^3}{3}$を考えます。

$g(0) = 0$

$g'(x) = \frac{1}{1 + x^2} - 1 + x^2 = \frac{1 - (1 + x^2) + x^2(1 + x^2)}{1 + x^2} = \frac{x^4}{1 + x^2} \geq 0$

$g'(x) \geq 0$なので、$g(x)$は$x \geq 0$で増加関数です。$g(0) = 0$なので、$g(x) \geq 0$ for $x \geq 0$.

よって、$x - \frac{x^3}{3} < \tan^{-1} x$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $x - \frac{x^3}{6} < \sin x < x$

(2) $x - \frac{x^3}{3} < \tan^{-1} x < x$