関数 $f: [0,1] \rightarrow [0,1]$ が $[0,1]$ 上で連続であるとき、$f(c) = c$ となる $c \in [0,1]$ が存在することを示してください。

1. 問題の内容

関数 $f: [0,1] \rightarrow [0,1]$ が $[0,1]$ 上で連続であるとき、$f(c) = c$ となる $c \in [0,1]$ が存在することを示してください。

2. 解き方の手順

* 関数 $g(x) = f(x) - x$ を定義します。

* $g(x)$ は連続関数 $f(x)$ と $x$ の差であるため、$g(x)$ も $[0,1]$ 上で連続です。

* 区間の端点における $g(x)$ の値を計算します。

* $g(0) = f(0) - 0 = f(0)$

* $f(x)$ の値域は $[0,1]$ に含まれるので、$f(0) \geq 0$ です。したがって、$g(0) \geq 0$ です。

* $g(1) = f(1) - 1$

* 同様に $f(1) \leq 1$ なので、$g(1) \leq 0$ です。

* $g(0) \geq 0$ かつ $g(1) \leq 0$ なので、中間値の定理より、$g(c) = 0$ となる $c \in [0,1]$ が存在します。

* $g(c) = 0$ なので、$f(c) - c = 0$ であり、したがって $f(c) = c$ です。

3. 最終的な答え

$f(c) = c$ となる $c \in [0,1]$ が存在することが示されました。