$a > 0$ とする。関数 $f(x) = \sqrt{x}$ の $x = a$ における微分係数 $f'(a)$ を定義から求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。関数 $f(x) = \sqrt{x}$ の $x = a$ における微分係数 $f'(a)$ を定義から求めよ。

2. 解き方の手順

微分係数の定義より、

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

である。$f(x) = \sqrt{x}$ なので、

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{a+h} - \sqrt{a}}{h}$

ここで、分子を有理化する。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{a+h} - \sqrt{a})(\sqrt{a+h} + \sqrt{a})}{h(\sqrt{a+h} + \sqrt{a})}$

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a+h) - a}{h(\sqrt{a+h} + \sqrt{a})}$

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{a+h} + \sqrt{a})}$

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt{a}}$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$f'(a) = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a}}$

$f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}}$

3. 最終的な答え

$f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}}$