与えられた極限の計算問題です。 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} + 1 - \frac{1}{x}} = 2 $$ が成り立つことを確認します。

1. 問題の内容

与えられた極限の計算問題です。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} + 1 - \frac{1}{x}} = 2$$

が成り立つことを確認します。

2. 解き方の手順

$x$ が無限大に近づくとき、$\frac{1}{x}$ や $\frac{1}{x^2}$ は 0 に近づきます。

そこで、与えられた式で $x \to \infty$ の極限を考えます。

分子は $4 - \frac{4}{x}$ です。$x \to \infty$ のとき、$\frac{4}{x} \to 0$ なので、

$$\lim_{x \to \infty} (4 - \frac{4}{x}) = 4 - 0 = 4$$

となります。

分母は $\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} + 1 - \frac{1}{x}$ です。$x \to \infty$ のとき、$\frac{2}{x} \to 0$ および $\frac{3}{x^2} \to 0$ および $\frac{1}{x} \to 0$ なので、

$$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} + 1 - \frac{1}{x}) = \sqrt{1 + 0 - 0} + 1 - 0 = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$$

となります。

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} + 1 - \frac{1}{x}} = \frac{4}{2} = 2$$

となります。

3. 最終的な答え

$$\lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} + 1 - \frac{1}{x}} = 2$$