この問題は、いくつかの経済学的な概念を扱う問題です。具体的には、総可変費用、限界費用、平均可変費用、変化率、そして価格弾力性などが登場します。問題文中の空欄を埋める問題が含まれています。

1. 問題の内容

この問題は、いくつかの経済学的な概念を扱う問題です。具体的には、総可変費用、限界費用、平均可変費用、変化率、そして価格弾力性などが登場します。問題文中の空欄を埋める問題が含まれています。

2. 解き方の手順

問2：関数 $C(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{19}{2}x$ を $x$ で微分して $C'(x)$ を求めます。

$C'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{19}{2}x) = x^2 - 3x + \frac{19}{2}$

問3：$C'(x) - \frac{C(x)}{x}$ を計算します。

$\frac{C(x)}{x} = \frac{\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{19}{2}x}{x} = \frac{1}{3}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{19}{2}$

$C'(x) - \frac{C(x)}{x} = (x^2 - 3x + \frac{19}{2}) - (\frac{1}{3}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{19}{2}) = x^2 - \frac{1}{3}x^2 - 3x + \frac{3}{2}x = \frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2}x = x(\frac{2}{3}x - \frac{3}{2}) = \frac{x}{6}(4x - 9)$.

$\frac{C'(x)-\frac{C(x)}{x}}{x} = \frac{1}{6}(4x - 9) = \frac{4}{6}x - \frac{9}{6} = \frac{2}{3}x - \frac{3}{2}$.

問題文には$\frac{x}{13}(8x - 3)$と書いてあり、この問題は間違っている。

問4：定義域を $x > 0$ とする総可変費用関数が $C(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{19}{2}x$ である場合、$x > \frac{9}{4}$ ならば限界費用が平均可変費用を上回る。

平均可変費用は $AC(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{1}{3}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{19}{2}$

限界費用は $MC(x) = C'(x) = x^2 - 3x + \frac{19}{2}$

$MC(x) > AC(x)$ となるのは、

$x^2 - 3x + \frac{19}{2} > \frac{1}{3}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{19}{2}$

$\frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2}x > 0$

$x(\frac{2}{3}x - \frac{3}{2}) > 0$

$x > 0$ なので、 $\frac{2}{3}x - \frac{3}{2} > 0$

$\frac{2}{3}x > \frac{3}{2}$

$x > \frac{9}{4}$

問5：$x$ が $9$ から $10$ に増加したときの変化率は $\frac{\Delta x}{x}$ である。

ここで、$x$ は初期値を指すので、$x=9$ であり、$\Delta x = 10-9 = 1$ なので、変化率は $\frac{1}{9}$ である。

3. 最終的な答え

問2: $C'(x) = x^2 - 3x + \frac{19}{2}$

問3: 飛ばします。

問4: $\frac{9}{4}$

問5: $\frac{1}{9}$