次の3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \log 2x \, dx$ (2) $\int \log x^2 \, dx$ (3) $\int x \log x \, dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \log 2x \, dx$

(2) $\int \log x^2 \, dx$

(3) $\int x \log x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \log 2x \, dx$ の場合：

部分積分法を使用します。$\log 2x = \log 2 + \log x$ より、$\int \log 2x \, dx = \int (\log 2 + \log x) \, dx = \int \log 2 \, dx + \int \log x \, dx$ となります。

$\int \log 2 \, dx = x \log 2$ です。

$\int \log x \, dx$ は、$u = \log x$ と $dv = dx$ と置いて部分積分を行うと、$du = \frac{1}{x} dx$ と $v = x$ となり、

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x$ となります。

したがって、$\int \log 2x \, dx = x \log 2 + x \log x - x + C = x (\log 2 + \log x - 1) + C = x (\log 2x - 1) + C$

(2) $\int \log x^2 \, dx$ の場合：

$\log x^2 = 2 \log |x|$ であるため、$\int \log x^2 \, dx = 2 \int \log |x| \, dx$ となります。

(1) と同様に部分積分法を使用します。$u = \log |x|$ と $dv = dx$ と置くと、$du = \frac{1}{x} dx$ と $v = x$ となり、

$\int \log |x| \, dx = x \log |x| - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log |x| - \int dx = x \log |x| - x$ となります。

したがって、$\int \log x^2 \, dx = 2 (x \log |x| - x) + C = 2x (\log |x| - 1) + C$

(3) $\int x \log x \, dx$ の場合：

部分積分法を使用します。$u = \log x$ と $dv = x dx$ と置くと、$du = \frac{1}{x} dx$ と $v = \frac{x^2}{2}$ となり、

$\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C = \frac{x^2}{4} (2 \log x - 1) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \log 2x \, dx = x (\log 2x - 1) + C$

(2) $\int \log x^2 \, dx = 2x (\log |x| - 1) + C$

(3) $\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{4} (2 \log x - 1) + C$