$x > 0$ を定義域とする関数 $C(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{19}{2}x$ が与えられています。$C(x)$ を $x$ で微分したものを $C'(x)$ とするとき、以下の式が成り立つことを確認します。 $C'(x) - \frac{C(x)}{x} = x(\frac{8}{13}x - \frac{3}{2})$ この式が正しいことを示します。

1. 問題の内容

$x > 0$ を定義域とする関数 $C(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{19}{2}x$ が与えられています。$C(x)$ を $x$ で微分したものを $C'(x)$ とするとき、以下の式が成り立つことを確認します。

$C'(x) - \frac{C(x)}{x} = x(\frac{8}{13}x - \frac{3}{2})$

この式が正しいことを示します。

2. 解き方の手順

まず、$C(x)$ を微分して $C'(x)$ を求めます。

$C(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{19}{2}x$ より、

$C'(x) = \frac{3}{8}x^2 - 3x + \frac{19}{2}$

次に、$C(x)/x$ を計算します。

$\frac{C(x)}{x} = \frac{1}{8}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{19}{2}$

次に、$C'(x) - \frac{C(x)}{x}$ を計算します。

$C'(x) - \frac{C(x)}{x} = (\frac{3}{8}x^2 - 3x + \frac{19}{2}) - (\frac{1}{8}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{19}{2})$

$C'(x) - \frac{C(x)}{x} = \frac{3}{8}x^2 - 3x + \frac{19}{2} - \frac{1}{8}x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{19}{2}$

$C'(x) - \frac{C(x)}{x} = (\frac{3}{8} - \frac{1}{8})x^2 + (-3 + \frac{3}{2})x + (\frac{19}{2} - \frac{19}{2})$

$C'(x) - \frac{C(x)}{x} = \frac{2}{8}x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x$

与えられた式 $x(\frac{8}{13}x - \frac{3}{2})$ と比較するために、$x$ でくくります。

$C'(x) - \frac{C(x)}{x} = x(\frac{1}{4}x - \frac{3}{2})$

問題文では、

$C'(x) - \frac{C(x)}{x} = x(\frac{8}{13}x - \frac{3}{2})$ となっています。

したがって、$\frac{1}{4} = \frac{8}{13}$ が成り立つはずですが、これは明らかに誤りです。問題文に誤りがあるか、もしくは$\frac{8}{13}$に別の値が当てはまるはずです。問題文の指示に従い、この式を仮定して進めることはできません。

3. 最終的な答え

与えられた式が成立しない。問題文に誤りがある。

$C'(x) - \frac{C(x)}{x} = x(\frac{1}{4}x - \frac{3}{2})$ が正しい。