問題は、三角関数の方程式を解く問題です。 (1) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を、$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\theta - \frac{\pi}{3} = t$ とおいて、$\theta$ の値を求めます。 (2) $\tan t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を、$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\theta + \frac{\pi}{4} = t$ とおいて、$\theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題は、三角関数の方程式を解く問題です。

(1) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を、$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\theta - \frac{\pi}{3} = t$ とおいて、$\theta$ の値を求めます。

(2) $\tan t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を、$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\theta + \frac{\pi}{4} = t$ とおいて、$\theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\theta - \frac{\pi}{3} = t$ とおくと、 $0 \le \theta < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5\pi}{3}$ となります。

$\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を解くと、$t = -\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ となります。

したがって、

$\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$ より、$\theta = 0$

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ より、$\theta = \frac{5\pi}{3}$

よって、$\theta = 0, \frac{5\pi}{3}$

(2) $\theta + \frac{\pi}{4} = t$ とおくと、 $0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le t < \frac{9\pi}{4}$ となります。

$\tan t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を解くと、$t = \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ となります。

したがって、

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6}$ より、$\theta = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{14\pi - 3\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{6}$ より、$\theta = \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{26\pi - 3\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}$

よって、$\theta = \frac{11\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 0, \frac{5\pi}{3}$

(2) $\theta = \frac{11\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}$