問題は以下の3つの大問から構成されています。 (1) 与えられた範囲における関数の最大値と最小値を求める問題が2問。 (2) 与えられた方程式の実数解の個数を求める問題が2問。 (3) 半径$R$の球に内接する直円柱に関する問題が3問。直円柱の半径$r$を高さ$h$と$R$で表し、体積$V$を$h$と$R$で表し、$V$が最大となる$h$の値と$V$の最大値を$R$で表す。

1. 問題の内容

問題は以下の3つの大問から構成されています。

(1) 与えられた範囲における関数の最大値と最小値を求める問題が2問。

(2) 与えられた方程式の実数解の個数を求める問題が2問。

(3) 半径$R$の球に内接する直円柱に関する問題が3問。直円柱の半径$r$を高さ$h$と$R$で表し、体積$V$を$h$と$R$で表し、$V$が最大となる$h$の値と$V$の最大値を$R$で表す。

2. 解き方の手順

(1) (1) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2$（$-3 \le x \le 2$）

導関数 $f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x+2)$ を計算し、$f'(x)=0$ となる $x$ の値を求める。$x=0, -2$。

$f(-3) = -2$, $f(-2) = 2$, $f(0) = -2$, $f(2) = 18$。よって、最大値は18、最小値は-2。

(2) $f(x) = -2x^3 - 3x^2 + 12x + 5$（$-3 \le x \le 1$）

導関数 $f'(x) = -6x^2 - 6x + 12 = -6(x^2 + x - 2) = -6(x+2)(x-1)$ を計算し、$f'(x)=0$ となる $x$ の値を求める。$x=-2, 1$。

$f(-3) = -2x^3-3x^2+12x+5=54 - 27 - 36 + 5 = -4$, $f(-2) = 16-12-24+5=-15$, $f(1) = -2-3+12+5=12$。よって、最大値は12、最小値は-4。

(2) (3) $x^3 - x + 1 = 0$

$f(x) = x^3 - x + 1$ とおく。$f'(x) = 3x^2 - 1$。 $f'(x) = 0$ より、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$。

$f(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = \frac{2}{3\sqrt{3}} + 1 > 0$

$f(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = -\frac{2}{3\sqrt{3}} + 1 > 0$

$f(-2) = -8+2+1=-5<0$。$f(0)=1>0$。$f(1)=1>0$

よって、異なる実数解の個数は1個。

(4) $2x^3 - 6x^2 + k = 0$

$f(x) = 2x^3 - 6x^2$ とおく。$f'(x) = 6x^2 - 12x = 6x(x-2)$。 $f'(x) = 0$ より、$x = 0, 2$。

$f(0) = 0$, $f(2) = 16 - 24 = -8$。

$y = f(x)$ のグラフと $y = -k$ のグラフの交点の個数を考える。

$k < 8$ のとき 3個

$k = 8$ のとき 2個

$k > 8$ のとき 1個

$k > 0$ のとき 1個

$k = 0$ のとき 2個

$k < 0$ のとき 3個

(3) (5) 三平方の定理より、$r^2 + h^2 = R^2$が成り立つので、$r = \sqrt{R^2 - h^2}$

(6) $V = \pi r^2 (2h) = 2 \pi h (R^2 - h^2) = 2 \pi (R^2 h - h^3)$

(7) $V = 2 \pi (R^2 h - h^3)$

$\frac{dV}{dh} = 2 \pi (R^2 - 3h^2)$

$\frac{dV}{dh} = 0$ より、$3h^2 = R^2$。 $h = \frac{R}{\sqrt{3}}$。

$\frac{d^2V}{dh^2} = 2 \pi (-6h) < 0$ なので、$h = \frac{R}{\sqrt{3}}$ で $V$ は最大となる。

$V_{max} = 2 \pi (R^2 \frac{R}{\sqrt{3}} - \frac{R^3}{3\sqrt{3}}) = 2 \pi (\frac{3R^3 - R^3}{3\sqrt{3}}) = 2 \pi \frac{2R^3}{3\sqrt{3}} = \frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}\pi R^3}{9}$

3. 最終的な答え

(1) (1) 最大値: 18 ($x=2$), 最小値: -2 ($x=-3, 0$)

(2) 最大値: 12 ($x=1$), 最小値: -4 ($x=-3$)

(2) (3) 1個

(4) $k < 0$のとき3個、 $k = 0, k = 8$ のとき2個, $0 < k < 8$ のとき3個, $k > 8$のとき1個

(3) (5) $r = \sqrt{R^2 - h^2}$

(6) $V = 2\pi h(R^2 - h^2)$

(7) $h = \frac{R}{\sqrt{3}}$, $V_{max} = \frac{4\sqrt{3}\pi R^3}{9}$