$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x+1}\right)^x$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x+1}\right)^x$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、自然対数を利用します。 まず、与えられた関数を $y$ とおきます。

$y = \left(1 + \frac{2}{x+1}\right)^x$

次に、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln \left(\left(1 + \frac{2}{x+1}\right)^x\right) = x \ln \left(1 + \frac{2}{x+1}\right)$

ここで、極限 $\lim_{x \to \infty} \ln y$ を考えます。

$\lim_{x \to \infty} x \ln \left(1 + \frac{2}{x+1}\right)$

この極限は不定形 $(\infty \cdot 0)$ の形をしているので、$\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の形に変形してロピタルの定理を適用できるようにします。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln \left(1 + \frac{2}{x+1}\right)}{\frac{1}{x}}$

この形であれば、ロピタルの定理が使えます。分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分:

$\frac{d}{dx} \ln \left(1 + \frac{2}{x+1}\right) = \frac{1}{1 + \frac{2}{x+1}} \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{2}{x+1}\right) = \frac{1}{1 + \frac{2}{x+1}} \cdot \frac{-2}{(x+1)^2} = \frac{-2}{(x+1)^2\left(1 + \frac{2}{x+1}\right)} = \frac{-2}{(x+1)(x+1+2)} = \frac{-2}{(x+1)(x+3)}$

分母の微分:

$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}$

したがって、ロピタルの定理を適用すると:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-2}{(x+1)(x+3)}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{(x+1)(x+3)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x^2 + 4x + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} = 2$

$\lim_{x \to \infty} \ln y = 2$ より、$\lim_{x \to \infty} y = e^2$となります。

3. 最終的な答え

$e^2$