$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、$\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ に共役な式 $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ を掛けて割ることを考えます。

$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \cdot \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

$= \frac{(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

$= \frac{n+1 - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

$= \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

よって、

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n+1} \to \infty$ かつ $\sqrt{n} \to \infty$ なので、$\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to \infty$ となります。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0$

3. 最終的な答え

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