マクローリン展開で関数 $y = x^2 a^x$ のn次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

マクローリン展開で関数 $y = x^2 a^x$ のn次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = x^2 a^x$ をマクローリン展開します。マクローリン展開は、$x=0$ におけるテイラー展開であり、以下の式で表されます。

$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$

ここで、$f^{(k)}(0)$ は $f(x)$ の $k$ 次導関数の $x=0$ における値です。

$a^x$ のマクローリン展開は

$a^x = e^{x \ln a} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^k}{k!} x^k$

と表せます。

したがって、$y = x^2 a^x$ は

$y = x^2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^k}{k!} x^k = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^k}{k!} x^{k+2}$

と表せます。

この級数表示から、$y$ の $n$ 次導関数を計算します。$y$ の $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ は、

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^k}{k!} \frac{d^n}{dx^n} x^{k+2}$

となります。

$x^{k+2}$ の $n$ 次導関数は、

$\frac{d^n}{dx^n} x^{k+2} = \frac{(k+2)!}{(k+2-n)!} x^{k+2-n}$

となります。ここで、$k+2-n < 0$ ならば、$\frac{d^n}{dx^n} x^{k+2} = 0$ です。

したがって、$y^{(n)}$ は、

$y^{(n)} = \sum_{k= \max(0, n-2)}^{\infty} \frac{(\ln a)^k}{k!} \frac{(k+2)!}{(k+2-n)!} x^{k+2-n}$

となります。

特に、$x=0$ の場合、

$y^{(n)}(0) = \sum_{k= \max(0, n-2)}^{\infty} \frac{(\ln a)^k}{k!} \frac{(k+2)!}{(k+2-n)!} 0^{k+2-n}$

$k+2-n \neq 0$ のとき、$0^{k+2-n} = 0$ です。

したがって、$y^{(n)}(0)$ がゼロでない値を持つためには、$k+2-n = 0$ である必要があり、$k = n-2$ となります。

したがって、

$y^{(n)}(0) = \frac{(\ln a)^{n-2}}{(n-2)!} \frac{n!}{0!} = n(n-1)(\ln a)^{n-2}$

($n \ge 2$ の場合)

$n=0$ の場合、$y(0) = 0^2 a^0 = 0$

$n=1$ の場合、$y'(x) = 2x a^x + x^2 (\ln a) a^x$ なので $y'(0) = 0$

3. 最終的な答え

$n \geq 2$ のとき、

$y^{(n)}(0) = n(n-1) (\ln a)^{n-2}$

$n = 0, 1$ のとき、

$y^{(n)}(0) = 0$