$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$ を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x = \pi + h$ とおきます。すると、$x \to \pi$ のとき、$h \to 0$ となります。

したがって、

$$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + \cos(\pi + h)}{(\pi + h - \pi)^2} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + \cos(\pi + h)}{h^2}$$

$\cos(\pi + h) = - \cos h$ なので、

$$\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2}$$

ここで、$\cos h = 1 - \frac{h^2}{2!} + \frac{h^4}{4!} - \cdots$ であるから、

$$1 - \cos h = \frac{h^2}{2} - \frac{h^4}{24} + \cdots$$

したがって、

$$\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^2}{2} - \frac{h^4}{24} + \cdots}{h^2} = \lim_{h \to 0} \left( \frac{1}{2} - \frac{h^2}{24} + \cdots \right) = \frac{1}{2}$$

または、ロピタルの定理を用いることもできます。

$\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$$\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{2h}$$

これは再び $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理をもう一度適用します。

$$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos h}{2} = \frac{\cos 0}{2} = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$