与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{n-1}$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{n-1}$

を計算する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を次のように書き換えます。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{n-1} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n-1}$

次に、指数部分を分離します。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n-1} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} (1 + \frac{1}{n})^{-1}$

ここで、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e$ および $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{-1} = (1 + 0)^{-1} = 1$ であることを利用します。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n-1} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{-1} = e \cdot 1 = e$

3. 最終的な答え

e