与えられた関数 $y = \frac{1}{1+x^2}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{1+x^2}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この関数は分数の形をしているので、商の微分公式を使います。商の微分公式は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ について、

$$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$$

で与えられます。

この問題の場合、$u(x) = 1$ と $v(x) = 1 + x^2$ と置きます。

すると、$u'(x) = 0$ であり、$v'(x) = 2x$ となります。

これらの値を商の微分公式に代入すると、

$$y' = \frac{0 \cdot (1+x^2) - 1 \cdot (2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$$

となります。

3. 最終的な答え

最終的な答えは

$$y' = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$$

です。