問題は、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{7^n}{n!}$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{7^n}{n!}$ を求めることです。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、比のテストの考え方を使います。数列 $a_n = \frac{7^n}{n!}$ を考えます。そして、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ を計算します。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{7^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{7^n}{n!}} = \frac{7^{n+1} n!}{7^n (n+1)!} = \frac{7^{n+1}}{7^n} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = 7 \cdot \frac{n!}{(n+1)n!} = \frac{7}{n+1}$

したがって、

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{7}{n+1}$

次に、$n \to \infty$ のときの $\frac{7}{n+1}$ の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n+1} = 0$

比のテストより、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L < 1$ ならば、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ となります。

この場合、$L = 0 < 1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{7^n}{n!} = 0$

3. 最終的な答え

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