曲線 $y=x^3 - 4x + 1$ と直線 $y = -x + a$ ($a < 0$) が接するときの $a$ の値を求め、さらにそのとき曲線と直線で囲まれる部分の面積を求める問題です。$a = -3$ であることは問題文に与えられています。

1. 問題の内容

曲線 $y=x^3 - 4x + 1$ と直線 $y = -x + a$ ($a < 0$) が接するときの $a$ の値を求め、さらにそのとき曲線と直線で囲まれる部分の面積を求める問題です。$a = -3$ であることは問題文に与えられています。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値を確認します。問題文に $a = -3$ と与えられているので、$y = -x - 3$ と $y = x^3 - 4x + 1$ が接する条件を調べます。

(2) 接点の $x$ 座標を求めます。$x^3 - 4x + 1 = -x - 3$ を解きます。

$x^3 - 3x + 4 = 0$

$(x + 2)(x^2 - 2x + 2) = 0$

$x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 > 0$ なので、$x = -2$ が唯一の実数解となります。

したがって、接点の $x$ 座標は $-2$ です。

(3) 曲線と直線の交点の $x$ 座標を求めます。

$x^3 - 4x + 1 = -x - 3$ を解いたときに、$x = -2$ が重解になっているはずです。

$x^3 - 3x + 4 = (x + 2)^2(x - 1) = 0$

したがって、交点の $x$ 座標は $x = 1$ と $x = -2$（重解）となります。

(4) 面積を計算します。

囲まれた部分の面積は、積分を用いて求めることができます。

$S = \int_{-2}^{1} |(x^3 - 4x + 1) - (-x - 3)| dx = \int_{-2}^{1} |x^3 - 3x + 4| dx$

$-2 \le x \le 1$ の範囲では $x^3 - 3x + 4 \ge 0$ なので、絶対値を外して積分できます。

$S = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 4) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 4x]_{-2}^{1}$

$= (\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 4) - (4 - 6 - 8) = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{16}{4} - (-10)$

$= \frac{11}{4} + 10 = \frac{11 + 40}{4} = \frac{51}{4}$

3. 最終的な答え

曲線と直線で囲まれる部分の面積は $\frac{51}{4}$ です。