問題は以下の通りです。 * 問題2：$a$ を正の定数とする。関数 $f(x) = \frac{x^2 - ax + 1}{e^x}$ の極小値を $a$ を用いて表せ。 * 問題3：数列 $\{a_n\}$ を $a_1 = 1, a_{n+1} = \log(1 + \frac{1}{2}a_n)$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定める。 1. $a_n > 0$ を示せ。 2. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ を示せ。ただし、必要なら $x > 0$ のとき $x > \log(1+x)$ であることを用いてよい。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

* 問題2：$a$ を正の定数とする。関数 $f(x) = \frac{x^2 - ax + 1}{e^x}$ の極小値を $a$ を用いて表せ。

* 問題3：数列 $\{a_n\}$ を $a_1 = 1, a_{n+1} = \log(1 + \frac{1}{2}a_n)$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定める。

1. $a_n > 0$ を示せ。

2. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ を示せ。ただし、必要なら $x > 0$ のとき $x > \log(1+x)$ であることを用いてよい。

2. 解き方の手順

* 問題2:

1. $f(x)$ の微分を計算する。

$f'(x) = \frac{(2x-a)e^x - (x^2 - ax + 1)e^x}{(e^x)^2} = \frac{-x^2 + (a+2)x - (a+1)}{e^x}$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。これは $-x^2 + (a+2)x - (a+1) = 0$ を解くことと同値である。

$x^2 - (a+2)x + (a+1) = 0$

$(x-1)(x-(a+1)) = 0$

$x = 1, a+1$

3. $f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = \frac{(-2x+a+2)e^x - (-x^2 + (a+2)x - (a+1))e^x}{(e^x)^2} = \frac{x^2 - (a+4)x + (2a+3)}{e^x}$

4. $x=1$ と $x=a+1$ での $f''(x)$ の符号を調べる。

$f''(1) = \frac{1 - (a+4) + (2a+3)}{e} = \frac{a}{e} > 0$ ($a>0$ より)

$f''(a+1) = \frac{(a+1)^2 - (a+4)(a+1) + (2a+3)}{e^{a+1}} = \frac{a^2 + 2a + 1 - (a^2 + 5a + 4) + 2a+3}{e^{a+1}} = \frac{-a}{e^{a+1}} < 0$ ($a>0$ より)

5. $f''(1) > 0$ より $x=1$ で極小値をとる。

$f(1) = \frac{1 - a + 1}{e} = \frac{2-a}{e}$

* 問題3:

1. $a_n > 0$ を示す：数学的帰納法を用いる。

* $n=1$ のとき、$a_1 = 1 > 0$ より成立。

* $n=k$ のとき、$a_k > 0$ と仮定する。

* $n=k+1$ のとき、$a_{k+1} = \log(1 + \frac{1}{2}a_k)$ である。$a_k > 0$ より $\frac{1}{2}a_k > 0$。したがって、$1 + \frac{1}{2}a_k > 1$。よって、$a_{k+1} = \log(1 + \frac{1}{2}a_k) > \log(1) = 0$。

* 以上より、すべての $n$ に対して $a_n > 0$。

2. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ を示す：

* $x > 0$ のとき $x > \log(1+x)$ であるから、$\frac{1}{2} a_n > \log(1 + \frac{1}{2} a_n) = a_{n+1}$ より $a_n > 2 a_{n+1}$、つまり $a_{n+1} < \frac{1}{2} a_n$。

* よって、$a_n < (\frac{1}{2})^{n-1} a_1 = (\frac{1}{2})^{n-1}$。

* $n \to \infty$ のとき $(\frac{1}{2})^{n-1} \to 0$ であるから、$0 \le a_n \le (\frac{1}{2})^{n-1}$ より、はさみうちの原理から $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。

3. 最終的な答え

* 問題2：極小値は $\frac{2-a}{e}$

* 問題3：

1. $a_n > 0$

2. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$