問題5は、実数 $u$ と $\theta$ が与えられた条件を満たすとき、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) $t = \tan u$ とおくとき、$\frac{\tan u}{\tan 2u}$ を $t$ を用いて表す。 (2) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \log \left(1 - \frac{\tan^2 \theta}{2^{2n}} \right)$ の和を求める。

1. 問題の内容

問題5は、実数 $u$ と $\theta$ が与えられた条件を満たすとき、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) $t = \tan u$ とおくとき、$\frac{\tan u}{\tan 2u}$ を $t$ を用いて表す。

(2) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \log \left(1 - \frac{\tan^2 \theta}{2^{2n}} \right)$ の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\tan 2u = \frac{2 \tan u}{1 - \tan^2 u}$ を用いる。$t = \tan u$ なので、これを代入して、

$\frac{\tan u}{\tan 2u} = \frac{\tan u}{\frac{2 \tan u}{1 - \tan^2 u}} = \frac{1 - \tan^2 u}{2} = \frac{1 - t^2}{2}$

(2) 無限級数の和を求める。

$S = \sum_{n=1}^{\infty} \log \left(1 - \frac{\tan^2 \theta}{2^{2n}} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \log \left(1 - \left( \frac{\tan \theta}{2^{n}} \right)^2 \right)$

$\log \left(1 - x^2 \right) = \log \left((1 - x)(1 + x) \right) = \log(1-x) + \log(1+x)$ を用いて書き換えることは難しいと考えられる。

$\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$より、$1-\tan^2 x = \frac{2\tan x}{\tan 2x}$である。よって、

$\log (1 - \tan^2 x) = \log \left( \frac{2 \tan x}{\tan 2x} \right) = \log (2 \tan x) - \log (\tan 2x)$

と変形できる。

したがって、

$S = \sum_{n=1}^{\infty} \log \left(1 - \frac{\tan^2 \theta}{2^{2n}} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \left\{ \log \left( \frac{2 \frac{\tan \theta}{2^n}}{\tan (2 \frac{\theta}{2^n})} \right) \right\} = \sum_{n=1}^{\infty} \left\{ \log \left(2 \frac{\tan(\theta/2^n)}{2^n} \right) - \log\left( \tan(\theta/2^{n-1}) \right) \right\}$

ここで、$\frac{\tan x}{x} \to 1 (x \to 0)$を用いる。

$x = \theta / 2^n$とすると、$n \to \infty$で、$x \to 0$となる。

$S_N = \sum_{n=1}^{N} \log \left(1 - \frac{\tan^2 \theta}{2^{2n}} \right) = \sum_{n=1}^{N} \left\{ \log \left(2 \frac{\tan(\theta/2^n)}{2^n} \right) - \log\left( \tan(\theta/2^{n-1}) \right) \right\}$

$= \left[ \log \left( \frac{\tan (\theta/2)}{\tan \theta} \right) \right] + \dots + \left[ \log \left( \frac{\tan(\theta/2^n)}{\tan \theta/2^{n-1}}\right) \right]$

$= \log \left(\frac{\tan(\theta/2^N)}{2^N} \right) - \log(\tan \theta)$

$S = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \left[ \log \left( \frac{\tan (\theta/2^N)}{2^N} \right) - \log(\tan \theta) \right]$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$より、$\lim_{N \to \infty} \frac{\tan (\theta/2^N)}{\theta/2^N} = 1$であるから、

$\lim_{N \to \infty} \tan(\theta/2^N) = \theta / 2^N$

$S = \lim_{N \to \infty} \left[ \log \left( \frac{\theta/2^N}{2^N} \right) - \log(\tan \theta) \right] = \log(\theta) - \log(\tan \theta) - \lim_{N \to \infty} \log (2^{2N}) = - \log(\tan \theta) + \log \theta - \infty$

この式は発散する。

問題文より、

$S = \sum_{n=1}^{\infty} \log \left(1 - \frac{\tan^2 \theta}{2^{2n}} \right)$において、

$\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{\tan^2 \theta}{2^{2n}} \right) = \frac{\sin \theta}{\theta}$となるので、

$S = \log \left( \frac{\sin \theta}{\theta} \right) = \log(\sin \theta) - \log \theta$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1 - t^2}{2}$

(2) $\log(\sin \theta) - \log \theta$