複素数平面上で、$z_0 = 1 + i$ が表す点を $A_0$ とする。$z_0$ と $\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{2}$ の積 $z_1 = \alpha z_0$ が表す点を $A_1$ とする。同様に、$z_n = \alpha z_{n-1} (n=2, 3, \dots)$ が表す点を $A_n$ とするとき、三角形 $OA_{n-1}A_n$ の面積 $S_n (n \ge 1)$ を求め、さらに $\sum_{n=1}^\infty S_n$ を求めよ。ただし、$O$ は原点である。

1. 問題の内容

複素数平面上で、$z_0 = 1 + i$ が表す点を $A_0$ とする。$z_0$ と $\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{2}$ の積 $z_1 = \alpha z_0$ が表す点を $A_1$ とする。同様に、$z_n = \alpha z_{n-1} (n=2, 3, \dots)$ が表す点を $A_n$ とするとき、三角形 $OA_{n-1}A_n$ の面積 $S_n (n \ge 1)$ を求め、さらに $\sum_{n=1}^\infty S_n$ を求めよ。ただし、$O$ は原点である。

2. 解き方の手順

まず、$z_n$ を求める。$z_n = \alpha z_{n-1}$ なので、$z_n = \alpha^n z_0$ である。

次に、$\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{2}$ を極形式で表す。

$|\alpha| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{36} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{12} + \frac{3}{12}} = \sqrt{\frac{4}{12}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

$\arg \alpha = \theta$ とすると、$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}/6}{1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ かつ $\sin \theta = \frac{1/2}{1/\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$.

$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} (\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$.

$z_0 = 1 + i$ を極形式で表すと、$|z_0| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ であり、$\arg z_0 = \frac{\pi}{4}$ なので、$z_0 = \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.

$z_n = \alpha^n z_0 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n (\cos \frac{n\pi}{3} + i \sin \frac{n\pi}{3}) \cdot \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \left[ \cos \left(\frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) \right]$.

三角形 $OA_{n-1} A_n$ の面積 $S_n$ は、

$S_n = \frac{1}{2} |z_{n-1}| |z_n| \sin \angle A_{n-1} O A_n$.

$\angle A_{n-1} O A_n = \arg z_n - \arg z_{n-1} = \arg (\alpha^n z_0) - \arg (\alpha^{n-1} z_0) = \arg \alpha = \frac{\pi}{3}$.

$|z_n| = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n$.

したがって、$S_n = \frac{1}{2} \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n-1} \cdot \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2n-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n \cdot 3^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^n$.

$\sum_{n=1}^\infty S_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{3}{2} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{3}{2} \cdot \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1/3}{2/3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{3}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^n$

$\sum_{n=1}^\infty S_n = \frac{3}{4}$