(1) $f(x) = \frac{1}{(1+x)(1-x)}$ をより簡単な形に変形せよ。 (2) $f(x) = e^x \sin x$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ について、$f^{(n)}(\frac{\pi}{4})$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $f(x) = \frac{1}{(1+x)(1-x)}$ をより簡単な形に変形せよ。

(2) $f(x) = e^x \sin x$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ について、$f^{(n)}(\frac{\pi}{4})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を部分分数分解する。

$f(x) = \frac{1}{(1+x)(1-x)} = \frac{A}{1+x} + \frac{B}{1-x}$ とおく。

両辺に $(1+x)(1-x)$ をかけると、

$1 = A(1-x) + B(1+x)$

$x = 1$ のとき、 $1 = 2B$ より $B = \frac{1}{2}$

$x = -1$ のとき、 $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

したがって、

$f(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} \right)$

(2) $f(x) = e^x \sin x$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つける。

$f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$

$f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = e^x(2\cos x) = 2e^x \cos x$

$f'''(x) = 2e^x \cos x + 2e^x (-\sin x) = 2e^x (\cos x - \sin x)$

$f^{(4)}(x) = 2e^x (\cos x - \sin x) + 2e^x (-\sin x - \cos x) = -4e^x \sin x = -4f(x)$

ここで、$f^{(4)}(x) = -4f(x)$ という関係が見つかったので、$f^{(n)}(x)$ は周期的に変化することがわかる。

次に、$f^{(n)}(x) = r^n e^x \sin(x+n\theta)$　の形を仮定して、定数 $r$ と $\theta$ を求める。

$f(x)=e^x \sin x$ より、$r= \sqrt{2}, \theta=\frac{\pi}{4}$

$f^{(n)}(x) = (\sqrt{2})^n e^x \sin(x+\frac{n\pi}{4})$

したがって、$f^{(n)}(\frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2})^n e^{\frac{\pi}{4}} \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{4}) = (\sqrt{2})^n e^{\frac{\pi}{4}} \sin(\frac{(n+1)\pi}{4})$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} \right)$

(2) $f^{(n)}(\frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2})^n e^{\frac{\pi}{4}} \sin(\frac{(n+1)\pi}{4})$