与えられた2階微分方程式 $y'' + 2(y')^2 = 0$ を、階数下げの方法と変数分離法を用いて解き、$y(x) = \int u(x)dx + C$ (Cは積分定数) を満たす $y(x)$ を求める。ただし、$y' = u(x)$ とする。

1. 問題の内容

与えられた2階微分方程式 $y'' + 2(y')^2 = 0$ を、階数下げの方法と変数分離法を用いて解き、$y(x) = \int u(x)dx + C$ (Cは積分定数) を満たす $y(x)$ を求める。ただし、$y' = u(x)$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた微分方程式に $y' = u(x)$ を代入する。すると、$y'' = \frac{du}{dx} = \frac{du}{dy}\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dy}u$ となるので、元の微分方程式は $u\frac{du}{dy} + 2u^2 = 0$ と書き換えられる。

(2) $u\frac{du}{dy} + 2u^2 = 0$ を解く。 $u\neq0$と仮定すると、両辺を$u$で割って $\frac{du}{dy}+2u = 0$ となる。

(3) $\frac{du}{dy} + 2u = 0$ を変数分離する。$\frac{du}{u} = -2dy$。両辺を積分して $\int \frac{du}{u} = \int -2dy$ を得る。積分を実行すると $\ln|u| = -2y + C_1$ ($C_1$は積分定数)。

(4) $\ln|u| = -2y + C_1$ より、$|u| = e^{-2y+C_1} = e^{C_1}e^{-2y}$。よって、$u = Ae^{-2y}$ ($A = \pm e^{C_1}$ は積分定数)。

(5) $u = \frac{dy}{dx}$ なので、$\frac{dy}{dx} = Ae^{-2y}$。これを変数分離する。$e^{2y}dy = A dx$。両辺を積分して $\int e^{2y}dy = \int Adx$ を得る。積分を実行すると $\frac{1}{2}e^{2y} = Ax + C_2$ ($C_2$は積分定数)。

(6) $\frac{1}{2}e^{2y} = Ax + C_2$ を整理する。$e^{2y} = 2Ax + 2C_2$。両辺の自然対数をとると $2y = \ln(2Ax + 2C_2)$。したがって、$y = \frac{1}{2}\ln(2Ax + 2C_2) = \frac{1}{2}\ln(Bx + D)$ ($B=2A$, $D=2C_2$ は積分定数)。

（注：$u=0$の場合、$y'=0$なので$y=C$であり、これは$\frac{1}{2}\ln(Bx + D)$に含まれる。）

3. 最終的な答え

$y(x) = \frac{1}{2}\ln(Bx+D)$ （B, D は積分定数）