関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ の極値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ の極値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数を微分して、導関数を求める。

$y' = 3x^2 - 12x + 9$

(2) 導関数が0になるxの値を求める。

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

$x = 1, 3$

(3) 増減表を作成する。

$x < 1$ のとき、$y' > 0$

$1 < x < 3$ のとき、$y' < 0$

$x > 3$ のとき、$y' > 0$

| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |

|------|-----|------|-----|------|-----|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |

(4) 極大値と極小値を求める。

$x = 1$ のとき、

$y = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 1 = 1 - 6 + 9 - 1 = 3$

$x = 3$ のとき、

$y = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 1 = 27 - 54 + 27 - 1 = -1$

3. 最終的な答え

極大値：$x=1$ のとき $y=3$

極小値：$x=3$ のとき $y=-1$