与えられた2変数関数 $f(x,y)$ の停留点を求め、それぞれの停留点が極大点か極小点かを判定する。 (1) $f(x,y) = x^2 - 4x + y^2 - 6y + 13$ (2) $f(x,y) = x^4 - xy + y^4$

1. 問題の内容

与えられた2変数関数 $f(x,y)$ の停留点を求め、それぞれの停留点が極大点か極小点かを判定する。

(1) $f(x,y) = x^2 - 4x + y^2 - 6y + 13$

(2) $f(x,y) = x^4 - xy + y^4$

2. 解き方の手順

(1) $f(x,y) = x^2 - 4x + y^2 - 6y + 13$ の場合

まず、偏微分を計算する。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 4$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2y - 6$

次に、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となる点を求める。

$2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$

$2y - 6 = 0 \Rightarrow y = 3$

したがって、停留点は $(2, 3)$ である。

次に、2階偏微分を計算する。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0$

ヘッセ行列式 $D$ を計算する。

$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4$

$D > 0$ かつ $f_{xx} > 0$ であるため、$(2, 3)$ は極小点である。

(2) $f(x,y) = x^4 - xy + y^4$ の場合

まず、偏微分を計算する。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3 - y$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3 - x$

次に、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となる点を求める。

$4x^3 - y = 0 \Rightarrow y = 4x^3$

$4y^3 - x = 0 \Rightarrow x = 4y^3$

$y = 4x^3$ を $x = 4y^3$ に代入すると、

$x = 4(4x^3)^3 = 4(64x^9) = 256x^9$

$x - 256x^9 = 0$

$x(1 - 256x^8) = 0$

$x = 0$ または $1 - 256x^8 = 0$

$x = 0$ のとき、$y = 4x^3 = 4(0)^3 = 0$

$1 - 256x^8 = 0$ のとき、$x^8 = \frac{1}{256} = \frac{1}{2^8}$ より $x = \pm \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$y = 4x^3 = 4(\frac{1}{2})^3 = 4(\frac{1}{8}) = \frac{1}{2}$

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = 4x^3 = 4(-\frac{1}{2})^3 = 4(-\frac{1}{8}) = -\frac{1}{2}$

したがって、停留点は $(0, 0)$, $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ である。

次に、2階偏微分を計算する。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x^2$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 12y^2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -1$

ヘッセ行列式 $D$ を計算する。

$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (12x^2)(12y^2) - (-1)^2 = 144x^2y^2 - 1$

(i) $(0, 0)$ のとき、$D = 144(0)^2(0)^2 - 1 = -1 < 0$ であるため、$(0, 0)$ は鞍点である。

(ii) $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ のとき、$D = 144(\frac{1}{2})^2(\frac{1}{2})^2 - 1 = 144(\frac{1}{16}) - 1 = 9 - 1 = 8 > 0$

$f_{xx} = 12(\frac{1}{2})^2 = 12(\frac{1}{4}) = 3 > 0$ であるため、$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ は極小点である。

(iii) $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ のとき、$D = 144(-\frac{1}{2})^2(-\frac{1}{2})^2 - 1 = 144(\frac{1}{16}) - 1 = 9 - 1 = 8 > 0$

$f_{xx} = 12(-\frac{1}{2})^2 = 12(\frac{1}{4}) = 3 > 0$ であるため、$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ は極小点である。

3. 最終的な答え

(1) 停留点: $(2, 3)$, 極小点

(2) 停留点: $(0, 0)$, $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$

$(0, 0)$ は鞍点

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ は極小点

$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ は極小点