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与えられた極限 $S = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^5}(1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4)$ を計算する。

解析学極限リーマン和定積分積分計算
2025/6/6

1. 問題の内容

与えられた極限 S=lim⁡n→∞1n5(14+24+34+⋯+n4)S = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^5}(1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4) を計算する。

2. 解き方の手順

この極限は、リーマン和を使って定積分に変換することで計算できます。
まず、SS の式を次のように変形します。
S=lim⁡n→∞1n∑k=1n(kn)4S = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (\frac{k}{n})^4
ここで、xk=knx_k = \frac{k}{n} とおくと、xkx_k は k=1k=1 から k=nk=n まで、00 から 11 までの区間を nn 等分した点に対応します。したがって、n→∞n \to \infty の極限では、リーマン和は定積分に収束します。
S=∫01x4dxS = \int_0^1 x^4 dx
この定積分を計算します。
S=[x55]01=155−055=15S = [\frac{x^5}{5}]_0^1 = \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{1}{5}

3. 最終的な答え

15\frac{1}{5}

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