$\lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\pi}{n}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\pi}{n}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\theta = \frac{\pi}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $\theta \to 0$ となります。

したがって、与えられた極限は

$$\lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\pi}{n} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\pi}{\theta} \sin \theta = \pi \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}$$

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ を用いると、

$$\pi \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = \pi \cdot 1 = \pi$$

となります。

3. 最終的な答え

$\pi$