$y$-$z$平面におけるベクトル場 $\mathbf{v} = v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k}$ の回転（rot $\mathbf{v}$）が、なぜ次の式で与えられるのかを、2次元ベクトル場における水の流れと歯車の回転を利用して説明する問題です。 $$ \text{rot } \mathbf{v} = \left( \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z} \right) \mathbf{i} $$

1. 問題の内容

$y$-$z$平面におけるベクトル場 $\mathbf{v} = v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k}$ の回転（rot $\mathbf{v}$）が、なぜ次の式で与えられるのかを、2次元ベクトル場における水の流れと歯車の回転を利用して説明する問題です。

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\text{rot } \mathbf{v} = \left( \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z} \right) \mathbf{i}

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2. 解き方の手順

回転（rot）の概念を理解するために、まず2次元ベクトル場における水の流れを考えます。

ある点 $(y, z)$ における回転は、その点の周りの水の流れの「渦」の強さを表します。

(1) $\frac{\partial v_z}{\partial y}$ の項の説明：

$v_z$ は $z$ 軸方向の流れの速さを表します。$\frac{\partial v_z}{\partial y}$ は、$y$ 軸方向に $v_z$ がどのように変化するかを表します。

もし $\frac{\partial v_z}{\partial y} > 0$ なら、$y$ 軸の正の方向に進むほど、$z$ 軸方向の流れが速くなることを意味します。

これは、点 $(y, z)$ の周りで反時計回りの回転を生じさせる効果があります。

例えば、歯車を $y$ 軸方向に並べ、上の歯車の回転速度が下の歯車の回転速度よりも速い場合、全体として $x$ 軸方向に軸を持つ回転が生まれます。

(2) $\frac{\partial v_y}{\partial z}$ の項の説明：

$v_y$ は $y$ 軸方向の流れの速さを表します。$\frac{\partial v_y}{\partial z}$ は、$z$ 軸方向に $v_y$ がどのように変化するかを表します。

もし $\frac{\partial v_y}{\partial z} > 0$ なら、$z$ 軸の正の方向に進むほど、$y$ 軸方向の流れが速くなることを意味します。

これは、点 $(y, z)$ の周りで時計回りの回転を生じさせる効果があります。

例えば、歯車を $z$ 軸方向に並べ、右の歯車の回転速度が左の歯車の回転速度よりも速い場合、全体として $x$ 軸方向に軸を持つ反対方向の回転が生まれます。

(3) 全体の回転：

$\text{rot } \mathbf{v}$ は、反時計回りの回転の強さから時計回りの回転の強さを引いたものを表します。

したがって、$\frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}$ は、点 $(y, z)$ 周りの正味の回転の強さを表し、$x$ 軸方向の回転成分として表されます。これが $\mathbf{i}$ 方向の成分となる理由です。

3. 最終的な答え

ベクトル場 $\mathbf{v} = v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k}$ の回転は、微小な領域における $z$ 方向の速度の $y$ 方向の変化($\frac{\partial v_z}{\partial y}$)と、$y$方向の速度の $z$ 方向の変化($\frac{\partial v_y}{\partial z}$)の差によって定まります。$\frac{\partial v_z}{\partial y}$は反時計回りの回転を、$\frac{\partial v_y}{\partial z}$は時計回りの回転を表し、これらの差が正味の回転の強さを表します。この回転軸は $x$ 軸方向であるため、$\mathbf{i}$ 成分として表されます。歯車の回転で例えると、$\frac{\partial v_z}{\partial y}$は$y$軸方向に並んだ歯車の回転速度差、$\frac{\partial v_y}{\partial z}$は$z$軸方向に並んだ歯車の回転速度差に対応し、それらの差が全体としての回転の度合いを表します。