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次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3}$

解析学極限三角関数ロピタルの定理
2025/6/6

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。
lim⁡x→0sin⁡x(1−cos⁡x)x3\lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3}

2. 解き方の手順

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 および lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} を利用します。
まず、与えられた式を次のように変形します。
sin⁡x(1−cos⁡x)x3=sin⁡xx⋅1−cos⁡xx2\frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2}
次に、それぞれの極限を計算します。
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
したがって、全体の極限は次のようになります。
lim⁡x→0sin⁡x(1−cos⁡x)x3=lim⁡x→0sin⁡xx⋅lim⁡x→01−cos⁡xx2=1⋅12=12\lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

3. 最終的な答え

12\frac{1}{2}

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