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次の極限を求めます。 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n$

解析学極限数列指数関数e
2025/6/6

1. 問題の内容

次の極限を求めます。
lim⁡n→∞(1−1n+1)n\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n

2. 解き方の手順

まず、式を次のように変形します。
lim⁡n→∞(1−1n+1)n=lim⁡n→∞(n+1−1n+1)n=lim⁡n→∞(nn+1)n\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n
さらに、次のように変形します。
lim⁡n→∞(nn+1)n=lim⁡n→∞(n+1n)−n=lim⁡n→∞(1+1n)−n\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n}
ここで、t=−nt = -nとおくと、n→∞n \to \inftyのとき、t→−∞t \to -\inftyとなります。
lim⁡n→∞(1+1n)−n=lim⁡t→−∞(1−1t)t\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n} = \lim_{t \to -\infty} \left(1 - \frac{1}{t}\right)^{t}
u=−tu = -tとおくと、t→−∞t \to -\inftyのとき、u→∞u \to \inftyとなります。
lim⁡t→−∞(1−1t)t=lim⁡u→∞(1+1u)−u=lim⁡u→∞((1+1u)u)−1\lim_{t \to -\infty} \left(1 - \frac{1}{t}\right)^{t} = \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{-u} = \lim_{u \to \infty} \left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)^{-1}
lim⁡u→∞(1+1u)u=e\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u} = e　であるから、
lim⁡n→∞(1−1n+1)n=lim⁡u→∞((1+1u)u)−1=e−1=1e\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n = \lim_{u \to \infty} \left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}

3. 最終的な答え

1e\frac{1}{e}

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