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与えられた問題は、極限 $\lim_{x \to \infty} x \sin(\frac{1}{x})$ を計算することです。

解析学極限三角関数置換
2025/6/6

1. 問題の内容

与えられた問題は、極限 lim⁡x→∞xsin⁡(1x)\lim_{x \to \infty} x \sin(\frac{1}{x}) を計算することです。

2. 解き方の手順

1x=t\frac{1}{x} = t と置換すると、x→∞x \to \infty のとき t→0t \to 0 となります。
したがって、与えられた極限は次のように書き換えられます。
lim⁡x→∞xsin⁡(1x)=lim⁡t→01tsin⁡(t)=lim⁡t→0sin⁡(t)t\lim_{x \to \infty} x \sin(\frac{1}{x}) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \sin(t) = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t}
lim⁡t→0sin⁡(t)t\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} はよく知られた極限で、その値は1です。
したがって、
lim⁡t→0sin⁡(t)t=1\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1

3. 最終的な答え

lim⁡x→∞xsin⁡(1x)=1\lim_{x \to \infty} x \sin(\frac{1}{x}) = 1

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