与えられた極限を計算する問題です。具体的には、以下の極限を求めます。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k \sin \frac{k\pi}{2n}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。具体的には、以下の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k \sin \frac{k\pi}{2n}$

2. 解き方の手順

この極限は、リーマン和の考え方を使って定積分に変換することで計算できます。

まず、$\frac{1}{n^2}$ を $\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}$ と分けて、$\sum$ の中に $\frac{k}{n}$ を作ることを考えます。

すると、与えられた極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sin \frac{k\pi}{2n}$

ここで、$x_k = \frac{k}{n}$ とおくと、$k=1$ のとき $x_1 = \frac{1}{n}$ であり、$k=n$ のとき $x_n = \frac{n}{n} = 1$ となります。

したがって、上の式は積分に変換できて、

$\int_0^1 x \sin \frac{\pi x}{2} dx$

となります。

この積分を計算するために、部分積分を使います。

$u = x$、$dv = \sin \frac{\pi x}{2} dx$ とおくと、$du = dx$、$v = -\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2}$ となります。

したがって、

$\int_0^1 x \sin \frac{\pi x}{2} dx = \left[ -\frac{2x}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2} \right]_0^1 - \int_0^1 -\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2} dx$

$= \left[ -\frac{2x}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2} \right]_0^1 + \frac{2}{\pi} \int_0^1 \cos \frac{\pi x}{2} dx$

$= \left( -\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi}{2} - 0 \right) + \frac{2}{\pi} \left[ \frac{2}{\pi} \sin \frac{\pi x}{2} \right]_0^1$

$= 0 + \frac{4}{\pi^2} \left( \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 \right)$

$= \frac{4}{\pi^2} (1 - 0)$

$= \frac{4}{\pi^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{\pi^2}$