与えられた級数の収束半径を求め、収束する場合、その和を求める問題です。 1. $1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \dots + 3^n x^n + \dots$ 2. $1 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{27}x^3 + \dots + (-\frac{1}{3})^n x^n + \dots$ 3. $1 + \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3\sqrt{3}}x^3 + \dots + (\frac{1}{\sqrt{3}})^n x^n + \dots$

以下に、問題\[1]、\[2]、\[3]に対する解答を記述します。

**\[1]**

1. 問題の内容

与えられた級数の収束半径を求め、収束する場合、その和を求める問題です。

1. $1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \dots + 3^n x^n + \dots$

2. $1 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{27}x^3 + \dots + (-\frac{1}{3})^n x^n + \dots$

3. $1 + \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3\sqrt{3}}x^3 + \dots + (\frac{1}{\sqrt{3}})^n x^n + \dots$

2. 解き方の手順

1. 級数 $1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \dots + 3^n x^n + \dots$ について考えます。この級数は $\sum_{n=0}^{\infty} (3x)^n$ と書き換えられます。これは公比が $3x$ の等比級数です。等比級数が収束するための条件は $|3x| < 1$、つまり $|x| < \frac{1}{3}$ です。したがって、収束半径は $R = \frac{1}{3}$ です。収束する場合の和は $\frac{1}{1-3x}$ です。

2. 級数 $1 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{27}x^3 + \dots + (-\frac{1}{3})^n x^n + \dots$ について考えます。この級数は $\sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{1}{3}x)^n$ と書き換えられます。これは公比が $-\frac{1}{3}x$ の等比級数です。等比級数が収束するための条件は $|-\frac{1}{3}x| < 1$、つまり $|x| < 3$ です。したがって、収束半径は $R = 3$ です。収束する場合の和は $\frac{1}{1+\frac{1}{3}x} = \frac{3}{3+x}$ です。

3. 級数 $1 + \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3\sqrt{3}}x^3 + \dots + (\frac{1}{\sqrt{3}})^n x^n + \dots$ について考えます。この級数は $\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{\sqrt{3}}x)^n$ と書き換えられます。これは公比が $\frac{1}{\sqrt{3}}x$ の等比級数です。等比級数が収束するための条件は $|\frac{1}{\sqrt{3}}x| < 1$、つまり $|x| < \sqrt{3}$ です。したがって、収束半径は $R = \sqrt{3}$ です。収束する場合の和は $\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}x} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-x}$ です。

3. 最終的な答え

1. 収束半径: $\frac{1}{3}$、和: $\frac{1}{1-3x}$

2. 収束半径: $3$、和: $\frac{3}{3+x}$

3. 収束半径: $\sqrt{3}$、和: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-x}$

**\[2]**

1. 問題の内容

与えられた級数の収束半径を求める問題です。

1. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n+1}x^n$

2. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{n!}x^n$

2. 解き方の手順

1. 級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n+1}x^n$ について考えます。比判定法を用いると、

$$$$

\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{3^{n+1}x^{n+1}}{n+2} \cdot \frac{n+1}{3^n x^n}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|3x \frac{n+1}{n+2}\right| = |3x|

$$$$

収束するためには $|3x| < 1$、つまり $|x| < \frac{1}{3}$ である必要があります。したがって、収束半径は $\frac{1}{3}$ です。

2. 級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{n!}x^n$ について考えます。比判定法を用いると、

$$$$

\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{2x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2x^n}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{x}{n+1}\right| = 0

$$$$

任意の $x$ に対して $0 < 1$ なので、収束半径は $\infty$ です。

3. 最終的な答え

1. 収束半径: $\frac{1}{3}$

2. 収束半径: $\infty$

**\[3]**

問題の内容

関数 $\log(1+x)$ のマクローリン級数が $x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \dots$ であることを示す問題です。

解き方の手順

$\log(1+x)$ の導関数を求めます。

$\frac{d}{dx} \log(1+x) = \frac{1}{1+x}$

$\frac{1}{1+x}$ は等比級数で表すことができ、$|x|<1$ のとき

$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n$

この級数を項別に積分すると、

$\int \frac{1}{1+x} dx = \int (1 - x + x^2 - x^3 + \dots) dx$

$\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \dots + C$

ここで、$x=0$ を代入すると、

$\log(1+0) = 0 - 0 + 0 - 0 + \dots + C$

$0 = C$

したがって、$\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \dots$

最終的な答え

$\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \dots$ であることが示されました。