定積分 $\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x}) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x}) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を分割します。

$$\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x}) dx = \int_{-1}^{1} e^x dx - \int_{-1}^{1} e^{-x} dx$$

次に、それぞれの積分を計算します。

$\int e^x dx = e^x + C$

$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$

したがって、

$$\int_{-1}^{1} e^x dx = [e^x]_{-1}^{1} = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$$

$$\int_{-1}^{1} e^{-x} dx = [-e^{-x}]_{-1}^{1} = -e^{-1} - (-e^{-(-1)}) = -e^{-1} + e = e - \frac{1}{e}$$

これらの結果を元の式に代入します。

$$\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x}) dx = (e - \frac{1}{e}) - (e - \frac{1}{e}) = 0$$

あるいは、被積分関数 $f(x) = e^x - e^{-x}$ が奇関数であることに気づけば、積分区間が $[-1, 1]$ と原点対称であることから、直ちに積分値が $0$ であることが分かります。

$f(-x) = e^{-x} - e^{-(-x)} = e^{-x} - e^x = -(e^x - e^{-x}) = -f(x)$ より、$f(x)$ は奇関数です。

3. 最終的な答え

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